Question

17．在△ABC所在平面内有一动点P，令$\overrightarrow{PA}$²+$\overrightarrow{PB}$²+$\overrightarrow{PC}$²=T，当T取得最小值时P为△ABC的（　　）

• A． 垂心
• B． 重心
• C． 外心
• D． 内心

Answer 1

分析 利用特殊值法建立坐标系，结合向量模长的公式进行判断即可．

解答 解：不妨设三角形为直角边边长为1的等腰三角形，
则A（0，0），B（1，0），C（0，1），设P（x，y），
则T=$\overrightarrow{PA}$²+$\overrightarrow{PB}$²+$\overrightarrow{PC}$²=x²+y²+（x-1）²+y²+x²+（y-1）²=3x²+3y²-2x-2y+2
=3（x-$\frac{1}{3}$）²+3（y-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∴当x=y=$\frac{1}{3}$时，T取得最小值，
此时P（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵三角形的重心坐标为（$\frac{0+1+0}{3}$，$\frac{0+0+1}{3}$），即（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）是三角形的重心，
故选：B．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据条件利用特殊值法，建立坐标系将条件转化为向量坐标是解决本题的关键．考查学生的计算能力．