Question

9．若对可导函数f（x），恒有f（x）+xf'（x）＞0，则f（x）（　　）

• A． 恒大于0
• B． 恒小于0
• C． 恒等于0
• D． 和0的大小关系不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x），x∈R．对x分类讨论，利用导数与函数单调性的关系，即可得出．

解答 解：令g（x）=xf（x），x∈R．
∵g′（x）=x′f（x）+x•f′（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴函数g（x）是R上的增函数，又g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞g（0），即xf（x）＞0，∴f（x）＞0；
x＜0时，g（x）＜g（0），即xf（x）＜0，∴f（x）＞0．
x=0时，也有f（0）＞0，否则与g′（x）＞0矛盾．
综上可得：x∈R时，恒有f（x）＞0．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法、分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．