Question

14．如图，A（1，2）、B（$\frac{1}{4}$，-1）是抛物线y²=ax（a＞0）上的两个点，过点A、B引抛物线的两条弦AE，BF．
（1）求实数a的值；
（2）若直线AE与BF的斜率是互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧．
（i）直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；
（ii）求四边形AEBF面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（1，2）代入抛物线y²=ax（a＞0），即可解出a．
（2）（i）设直线AE的方程为：y-2=k（x-1），化为：y=kx+2-k，（k≠0），则直线BF的方程为：y+1=-k（x-$\frac{1}{4}$），化为：y=-kx+$\frac{k}{4}$-1．分别与抛物线方程联立即可得出k_EF=-1为定值．
（ii）设直线EF的方程为：y=-x+t，与抛物线方程联立化为：y²+4y-4t=0，△＞0，解得t＞-1．可得|EF|=$\sqrt{2[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，点A到直线EF的距离d₁，点B到直线EF的距离d₂．四边形AEBF面积S=$\frac{1}{2}|EF|$（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+t}$（4|t-3|+|4t+3|）．对t分类讨论，利用单调性即可得出．

解答 解：（1）把A（1，2）代入抛物线y²=ax（a＞0），可得：2²=a，解得a=4．
（2）（i）设直线AE的方程为：y-2=k（x-1），化为：y=kx+2-k，（k≠0），
则直线BF的方程为：y+1=-k（x-$\frac{1}{4}$），化为：y=-kx+$\frac{k}{4}$-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为ky²-4y+8-4k=0，∴2y_E=$\frac{8-4k}{k}$，
解得y_E=$\frac{4-2k}{k}$，∴x_E=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$．∴E$（\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}，\frac{4-2k}{k}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-kx+\frac{k}{4}-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：ky²+4y+4-k=0，
∴-y_F=$\frac{4-k}{k}$，可得y_F=$\frac{k-4}{k}$，解得x_F=$\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}$．
∴F$（\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}，\frac{k-4}{k}）$，
∴k_EF=$\frac{\frac{k-4}{k}-\frac{4-2k}{k}}{\frac{{k}^{2}-8k+16}{4{k}^{2}}-\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}}$=-4为定值．
（ii）设直线EF的方程为：y=-x+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²+4y-4t=0，
△=16+16t＞0，解得t＞-1．
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4t．
∴|EF|=$\sqrt{2[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2（16+16t）}$=4$\sqrt{2（1+t）}$．
点A到直线EF的距离d₁=$\frac{|1+2-t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|3-t|}{\sqrt{2}}$，
点B到直线EF的距离d₂=$\frac{|\frac{1}{4}-1-t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4t+3|}{4\sqrt{2}}$．
∴四边形AEBF面积S=$\frac{1}{2}|EF|$（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}×$4$\sqrt{2（1+t）}$×$\frac{4|t-3|+|4t+3|}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+t}$（4|t-3|+|4t+3|）．
①t≥3时，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（4t-12+4t+3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（8t-9）≥$\frac{1}{2}×\sqrt{1+3}×（24-9）$=15．
②$-\frac{3}{4}$≤t＜3时，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（-4t+12+4t+3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$×15∈$[\frac{15}{4}，15）$．
②-1＜t＜$-\frac{3}{4}$时，S=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$（-4t+12-4t-3）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+t}$×（9-8t），
令g（t）=$\frac{1}{4}（1+t）（9-8t）^{2}$=16t³-20t²-$\frac{63}{4}$t+$\frac{81}{4}$．
g′（t）=48t²-40t-$\frac{63}{4}$，对称轴为t=$\frac{5}{12}$，函数g′（t）在$（-1，-\frac{3}{4}）$上单调递减，
而${g}^{′}（-\frac{3}{4}）$=9+30-$\frac{63}{4}$＞0，∴函数g（t）在$（-1，-\frac{3}{4}）$上单调递增，
∴S在$（-1，-\frac{3}{4}）$上单调递增．
∴S∈$（0，\frac{15}{4}）$．
综上可得：S∈（0，15）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．