Question

如图1，在直角梯形中，，，，
. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．
(I)求证：平面平面；
(II)求直线与平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.

Answer 1

(I) 详见解析； (II) ； (III) 存在点M满足条件．

解析试题分析：(I)借助三角形中位线得到线线平行，进而得到面面平行；(II)建立空间直角坐标系，应用空间向量知识求线面角；(III) 记点为，证明即可．
试题解析：
（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面，所以                        1分
因为在直角梯形中，，，
，
所以，，所以是等边三角形，
所以是中点，                                        2分
所以                                             3分
同理可证
又
所以平面                                 5分
（II）在平面内过作的垂线
如图建立空间直角坐标系，

则，，                     6分
因为，
设平面的法向量为
因为，
所以有，即，
令则 所以                               8分
                                10分
所以直线与平面所成角的正弦值为                       11分
(III)存在，事实上记点为即可                                       12分
因为在直角三角形中，，     &n