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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,,AD=AB=1,AC和BD交于O点.
(I)求证:平面PBD丄平面PAC.
(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时,求二面角B-PD-A的余弦值.

(Ⅰ)见解析;(II) .

解析试题分析:(Ⅰ)利用条件证明,即可证平面平面;(II)过的垂线为轴,轴,轴,建立空间坐标系,得各点坐标,设,利用,先求出的值,再分别求面和面的法向量,从而可得结论.
试题解析:(Ⅰ)依题意,所以, 2分
,又,∴,又
∴平面平面.    4分
(Ⅱ)
的垂线为轴,轴,轴,建立如图所示坐标系,则,设,所以

,得
解得.      6分
∴P点的坐标为
的一个法向量为,     8分
设面的一个法向量为
,∴ ,      10分

所以二面角的余弦值为.     12分
考点:1、面面垂直的判定定理;2、利用空间向量求二面角.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知

(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)中,

(I)若的中点,求证:平面平面
(II)若为线段上一点,且二面角的大小为,试确定的位置.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在长方体中,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在中,上的高,沿折起,使.
(Ⅰ)证明:平面⊥平面
(Ⅱ)若,求三棱锥的表面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图1,在直角梯形中,
. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点.
(I)求证:平面平面
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在长方体中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1;侧棱中点,中点,上一个动点.

(Ⅰ)确定点的位置,使得
(Ⅱ)当时,求二面角的平面角余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=3,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,设AD中点为P.
(Ⅰ)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四棱锥中,都是边长为的等边三角形.

(I)证明:
(II)求点A到平面PCD的距离.

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