等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图2).
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.
(1)详见解析;(2)存在,且.
解析试题分析:(1)这是一个证明题,先用利用余弦定理在求出的长度,结合勾股定理证明,从而在折叠后对应地有,然后利用平面平面,结合平面与平面垂直的性质定理证明平面;(2)方法1是利用(1)中的提示条件说明平面,
然后再过点作,便可以得到平面,从而为直线与平面所成的角,进而围绕的长度进行计算;方法2是利用空间向量法,先假设点的坐标,利用(1)中的提示条件说明平面,将视为平面的一个法向量,然后利用确定点的坐标,进而计算的长度.
试题解析:证明:(1)因为等边△的边长为3,且,
所以,.
在△中,,
由余弦定理得.
因为,所以.
折叠后有. 2分
因为二面角是直二面角,所以平面平面. 3分
又平面平面,平面,,
所以平面. 4分
(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.
如图,作于点,连结、. 5分
由(1)有平面,而平面,
所以. 6分
又
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,==90°=1200,AD=AB=1,AC交BD于 O 点.
(I)求证:平面PBD丄平面PAC;
(Ⅱ)求三棱锥D-ABP和三棱锥B-PCD的体积之比.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,在直角梯形中,,,,
. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点.
(I)求证:平面平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在各棱长均为的三棱柱中,侧面底面,.
(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知点满足,在直线上是否存在点,使?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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