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等边三角形的边长为3,点分别是边上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结 (如图2).

(1)求证:平面
(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

(1)详见解析;(2)存在,且.

解析试题分析:(1)这是一个证明题,先用利用余弦定理在求出的长度,结合勾股定理证明,从而在折叠后对应地有,然后利用平面平面,结合平面与平面垂直的性质定理证明平面;(2)方法1是利用(1)中的提示条件说明平面
然后再过点,便可以得到平面,从而为直线与平面所成的角,进而围绕的长度进行计算;方法2是利用空间向量法,先假设点的坐标,利用(1)中的提示条件说明平面,将视为平面的一个法向量,然后利用确定点的坐标,进而计算的长度.
试题解析:证明:(1)因为等边△的边长为3,且
所以
在△中,
由余弦定理得
因为,所以
折叠后有.                                2分
因为二面角是直二面角,所以平面平面.           3分
又平面平面平面
所以平面.                               4分
(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为
如图,作于点,连结.      5分

由(1)有平面,而平面
所以.                   6分

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