Question

8．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，其中C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{3}$，则a²+b²的取值范围为（3，6]．

Answer 1

分析 法一：根据余弦定理化简建立等式关系，利用基本不等式的性质求解．
法二：由正弦定理表示出a，b，化简，利用三角函数的有界限可得a²+b²的取值范围．

解答 解：由余弦定理，$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得ab=a²+b²-3．
∵a²+b²≥2ab．
∴ab+3≥2ab，
得ab≤3．
∴a²+b²≤6；
又∵a＞0，b＞0，
∴a²+b²-3＞0
即a²+b²＞3．
故得a²+b²的取值范围（3，6]．
法二：由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得：a=2sinA，b=2sinB．
则a²+b²=4sin²A+（2sinB）²=4sin²A+（2sin（120-A））²=4sin²A+（2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+2×$\frac{1}{2}$sinA）²=3cos²A+2$\sqrt{3}$sinAcosA+sin²A=3+2sin²A+$\sqrt{3}$sin2A=4+$\sqrt{3}$sin2A-cos2A=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+4．
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$．
∴$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（$-\frac{1}{2}$，1]．
∴2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+4范围是（3，6]，即a²+b²的取值范围（3，6]．
故答案为（3，6]．

点评 本题考查了正、余弦定理、基本不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．