Question

17．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数$y=\frac{1}{3}x$的图象上，且${S_3}=\frac{13}{9}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知数列{b_n}满足b_n=4-n，设其前n项和为T_n，若存在正整数k，使不等式T_n＞k有解，且$k{（-1）^n}a_n^2＜{S_n}$（n∈N^*）恒成立，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用点在函数的图象上，推出递推关系式，然后求解数列的和．
（2）利用不等式恒成立，转化为函数的关系，通过二次函数的性质，以及数列的和得到不等式，求解k即可．

解答 解：（1）由题意，${a_{n+1}}=\frac{1}{3}{a_n}$，
得数列{a_n}为等比数列，
得${a_1}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{9}{a_1}=\frac{13}{9}$，解得a₁=1．
∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$.${S_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]$．
（2）$k{（-1）^n}a_n^2＜{S_n}$（n∈N^*）恒成立等价于$k{（-1）^n}{（\frac{1}{3}）^{2（n-1）}}＜\frac{1}{2}[3-{（\frac{1}{3}）^{n-1}}]$（n∈N^*）恒成立，
当n为奇数时，上述不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数k，不等式恒成立；
当n为偶数时，上述不等式等价于$2k{（\frac{1}{3}）^{2（n-1）}}+{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-3＜0$恒成立，
令${（\frac{1}{3}）^{n-1}}=t$，有$0＜t≤\frac{1}{3}$，
则①等价于2kt²+t-3＜0在$0＜t≤\frac{1}{3}$时恒成立，
因为k为正整数，二次函数y=2kt²+t-3的对称轴显然在y轴左侧，
所以当$0＜t≤\frac{1}{3}$时，二次函数为增函数，
故只须$2k{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{1}{3}-3＜0$，
解得0＜k＜12，k∈N^*．{b_n}是首项为b₁=3，公差为d=-1的等差数列，所以前n项和${T_n}=3n+\frac{n（n-1）×（-1）}{2}$=$\frac{{-{n^2}+7n}}{2}$．
当n=3或4时，T_n取最大值为6．T_n＞k有解?（T_n）_max＞k?k＜6．
又0＜k＜12，k∈N^*，
得0＜k＜6，k∈N^*，
所以k的取值为1，2，3，4，5．

点评 本题考查数列与函数相结合，不等式的应用，函数的性质，考查转化思想以及计算能力．