Question

7．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l过焦点F，且与圆x²+（y-1）²=1交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值；
（Ⅱ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试问：y轴上是否存在点Q，使得APBQ为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线l的斜率和点Q的坐标．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立x²=4y与y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
则△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．
（Ⅰ）由抛物线的定义有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，则|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，
|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，即可；
（Ⅱ）当直线l的斜率为0，且Q（0，3a）时APBQ为菱形．理由如下
 方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），若APBQ为菱形，可得${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
则y₁=y₂，∴k=0，∴$A（{-2\sqrt{a}，a}），B（{2\sqrt{a}，a}）$，
则抛物线C在$A（{-2\sqrt{a}，a}）$处的切线为$y=-\sqrt{a}x-a$，抛物线C在$B（{2\sqrt{a}，a}）$处的切线为$y=\sqrt{a}x-a$
可得P（0，-a），又AB的中点为R（0，a），所以Q（0，3a）
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，则$y'=\frac{1}{2}x$，
若APBQ为菱形，则${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，则y₁=y₂，∴k=0
此时直线AB：y=kx+a=a，则${y_0}=-\frac{1}{2}{x_1}{x_2}+{y_1}=-\frac{1}{2}•（{-4a}）+a=3a$，即Q（0，3a）

解答 解：抛物线C：x²=4y的焦点F（0，1），（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立x²=4y与y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
则△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．（2分）
（Ⅰ）若直线l过焦点F，则a=1，则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
由条件可知圆x²+（y-1）²=1圆心为F（0，1），半径为1，
由抛物线的定义有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
则|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，
（或$|{AD}|•|{BE}|={y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{4}•\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}=\frac{{{{（{-4}）}^2}}}{16}=1$）
即|AD|•|BE|为定值，定值为1．（5分）


（Ⅱ）当直线l的斜率为0，且Q（0，3a）时APBQ为菱形．理由如下：（6分）
 方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，则$y'=\frac{1}{2}x$，（7分）
若APBQ为菱形，则AQ∥BP，BQ∥AP，则${k_{AQ}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}，{k_{BQ}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=\frac{1}{2}{x_1}$，
即${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
则y₁=y₂，∴k=0，∴$A（{-2\sqrt{a}，a}），B（{2\sqrt{a}，a}）$，（9分）
则抛物线C在$A（{-2\sqrt{a}，a}）$处的切线为$y-a=-\sqrt{a}（{x+2\sqrt{a}}）$，即$y=-\sqrt{a}x-a$…①
同理抛物线C在$B（{2\sqrt{a}，a}）$处的切线为$y=\sqrt{a}x-a$…②（10分）
联立①②P（0，-a）．（11分）
又AB的中点为R（0，a），所以Q（0，3a）．（12分）
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（0，y₀），由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，则$y'=\frac{1}{2}x$，（7分）
若APBQ为菱形，则AQ∥BP，BQ∥AP，
则${k_{AQ}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}，{k_{BQ}}=\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}=\frac{1}{2}{x_1}$，即${y_1}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}，{y_2}-{y_0}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，
则y₁=y₂，∴k=0，（9分）
此时直线AB：y=kx+a=a，则${y_0}=-\frac{1}{2}{x_1}{x_2}+{y_1}=-\frac{1}{2}•（{-4a}）+a=3a$（11分）
所以Q（0，3a）．（12分）

点评 本题考查了抛物线的方程、性质，抛物线的切线，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于中档题．