Question

19．设函数y=-x²+l的切线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．

Answer 1

分析 设切点为P（（m，-m²+1），不妨设m＞0．
切线方程为：y-（-m²+1）=-2m（x-m），则|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m²+1，
则△OAB的面积s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
设f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），则f′（m）=3m²+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，为△OAB的面积的最小值

解答 解：设切点为P（（m，-m²+1），因为函数y=-x²+l的图象关于y轴对称，不妨设m＞0
∵y′=-2x，∴切线的斜率k=-2m
切线方程为：y-（-m²+1）=-2m（x-m），即2mx+y-m²-1=0
令x=0，则y=m²+1，令y=0，则x=$\frac{{m}^{2}+1}{2m}$
故|OA|=$\frac{m}{2}+\frac{1}{2m}$，|OB|=m²+1，
则△OAB的面积s=$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=$\frac{1}{4}$（${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$）
设f（m）=${m}^{3}+2m+\frac{1}{m}$，（m＞0），则f′（m）=3m²+2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{3{m}^{4}+2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$
令f′（m）=0，得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16}{9}\sqrt{3}$，则△OAB的面积的最小值为$\frac{1}{4}×\frac{16}{9}\sqrt{3}=\frac{4}{9}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$

点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数求最值，属于中档题．