Question

8．已知椭圆的两个焦点为F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），M是椭圆上一点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P是椭圆上任意一点，A₁、A₂分别是椭圆的左、右顶点，直线PA₁，PA₂与直线x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，设|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．可得m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．解出即可得出．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），设P（x₀，y₀），则直线PA₁的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它与直线x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交点的坐标为E，直线PA₂的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它与直线x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，可得k_QE•k_QF=-1，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，设|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=n．又|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8．
∴m²+n²=$（2\sqrt{5}）^{2}$，m+n=2a，mn=8，a²=b²+5．
解得：a=3，b=2．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由（1）得A₁（-3，0），A₂（3，0），设P（x₀，y₀），则直线PA₁的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），它与直线x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交点的坐标为E$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}×\frac{3\sqrt{5}+6}{2}）$，
直线PA₂的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），它与直线x=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$的交点的坐标为F$（\frac{3\sqrt{5}}{2}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}×\frac{3\sqrt{5}-6}{2}）$．
再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，
从而k_QE•k_QF=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$×$\frac{3\sqrt{5}+6}{2}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$$\frac{3\sqrt{5}-6}{2}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，
即$\frac{\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$，又$\frac{9}{4}{y}_{0}^{2}$=9$-{x}_{0}^{2}$．
∴$（\frac{3\sqrt{5}}{2}-m）^{2}$=1，解得m=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$±1．
故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为$（\frac{3\sqrt{5}}{2}±1，0）$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、勾股定理、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．