Question

4．在直角坐标系xOy中，过点P（2，-1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；  
 （2）求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y求曲线C的直角坐标方程；  
 （2）利用参数的几何意义求|PA|•|PB|．

解答 （1）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，…（2分）
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x …（5分）
（2）∵直线l过点P（2，-1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．…（7分）
代入  y²=4x  得t²-6$\sqrt{2}$t-14=0…（8分）
设点A，B对应的参数分别t₁，t₂
∴t₁t₂=-14…（9分）
∴|PA|•|PB|=14．…（10分）

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，正确运用参数的几何意义是关键．