Question

14．已知二次函数f（x）图象的顶点坐标为（1，-1）且图象经过原点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数|f（x）|的图象；
（3）根据图象分别指出k为何值时，关于x的方程|f（x）=k|有2个实根？3个实根？4个实根？

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的解析式，利用已知条件列出方程求解即可．
（2）利用二次函数以及函数的对称性，作出函数的图形即可．
（3）结合函数的图象，直接说明方程的解的个数即可．

解答 解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
 依题意有f（0）=0 可得：c=0，f（1）=-1 可得：a+b=-1，
由顶点坐标（1，-1）可得：对称轴为x=-$\frac{b}{2a}=1$，
解得：a=1，b=-2，c=0．
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x．
（2）函数|f（x）|的图象如图：

（3）由图象易知：当k=0或k＞1时，方程|f（x）|=k有两个实根；
当k=1时，方程|f（x）=k|有三个实根；
当0＜k＜1时，方程|f（x）|=k有四个实根．

点评 本题考查二次函数的性质，函数的图象的作法，函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想以及转化思想的应用．