Question

5．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{1}{8}$x²-x．
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）是否存在实数m，使得函数h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}$+m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，根据导函数的零点来判断f（x）的单调区间与极值点；
（2）使得函数h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}$+m+g（x）有三个不同的零点，实质是转换为求φ（x）=6lnx+8m+x²-8x的最小值、最大值与x轴的位置关系．

解答 解：（1）f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$； f'（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
所以f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，故f（x）的极小值点为x=$\frac{1}{e}$；
 （2）假设存在实数m，使得函数h（x）=$\frac{3f（x）}{4x}+m+g（x）$有三个不同的零点，
即方程6lnx+8m+x²-8x=0有三个不等实根，令φ（x）=6lnx+8m+x²-8x，
φ'（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8=$\frac{2（x-3）（x-1）}{x}$，
由φ'（x）＞0，得0＜x＜1 或 x＞3；
由φ'（x）＜0，得1＜x＜3，所以φ（x）在（0，1），（3，+∞）上单调递增，（1，3）上单调递减，
所以φ（x）的极大值为φ（1）=-7+8m，极小值为φ（3）=-15+6ln3+8m，要使方程6lnx+8m+x²-8x=0有三个不等实根，则函数φ（x）的图象与x轴要有三个交点，根据φ（x）的图象可知必须满足
$\left\{\begin{array}{l}{-7+8m＞0}\\{-15+6ln3+8m＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{8}＜m＜\frac{15}{8}-\frac{3}{4}ln3$，
所以存在实数m，使得方程$\frac{3f（x）}{4x}+m+g（x）=0$有三个不等实根，实数m的取值范围是$（\frac{7}{8}，\frac{15}{8}-\frac{3ln3}{4}）$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数零点个数问题，属中等题．