Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x+1}{{x}^{2}}，x＜-\frac{1}{2}}\\{x+1，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，g（x）=x²-4x-4，若存在实数a使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是[-1，5]．

Answer 1

分析 利用导数求出函数的值域，进而根据存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得实数b的取值范围．

解答 解：当x＜-$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=-$\frac{2（x+1）}{{x}^{3}}$，
当f′（x）＞0时，即-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜-1，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（-1）=-1，
当x=-$\frac{1}{2}$时，f（-$\frac{1}{2}$）=0，
或x→-∞时，f（x）→0，
当x≥-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[-$\frac{1}{2}$，+∞）为增函数，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
∴f（x）的值域为[-1，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
则g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故答案为：[-1，5]

点评 本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．