Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，e）

Answer 1

分析 由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．

解答 解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴x＞1时，y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切线过原点，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直线l₁的斜率为$\frac{1}{e}$，
又∵直线l₂与y=$\frac{1}{4}$x+1平行，
∴直线l₂的斜率为$\frac{1}{4}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．