Question

2．已知三次函数f（x）=ax³+bx（a＞0），下列命题正确的是①②．
①函数f（x）关于原点（0，0）中心对称；
②以A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与f（x）交于C，D两点，则这四个点的横坐标满足关系（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；
③以A（x₀，f（x₀））为切点，作切线与f（x）图象交于点B，再以点B为切点作直线与f（x）图象交于点C，再以点C作切点作直线与f（x）图象交于点D，则D点横坐标为-6x₀；
④若b=-2$\sqrt{2}$，函数f（x）图象上存在四点A，B，C，D，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性即可得到函数f（x）关于原点（0，0）中心对称；求导利用导数的几何意义及直线方程x_A=-x_B，x_C=-2x_A，x_D=-2x_B，即可求得（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；由x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，可得x_D=-8x₀，根据函数的图象可知这样的正方形要么不存在，要么是偶数个存在．

解答 解：①三次函数f（x）=ax³+bx（a＞0），
∴f（-x）=-ax³-bx=-f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数，
∴函数y=f（x）的图象关于原点对称．
故①正确．
②由f（x）=ax³+bx
求导f′（x）=3ax²+b，
A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））两不同的点的为切点作两条互相平行的切线，
∴f′（x_A）=f′（x_B）
∵A，B为不同的两点，
∴x_A=-x_B，
根据①可知，f（x_A）=-f（x_B）
以点A为切点的切线方程为：y-（$a{x}_{A}^{3}$+bx_A）=（3a${x}_{A}^{2}$+b）（x-x_A），
整理得：y=（3a${x}_{A}^{2}$+b）x-2$a{x}_{A}^{3}$，
代入f（x）=ax³+bx可得：（x+2x_A）（x-x_A）²=0，
∴x_C=-2x_A，
同理可得：x_D=-2x_B，
又∵x_A=-x_B，
∴（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1，
∴②正确，
∵③以A（x₀，f（x₀））为切点，作切线与f（x）图象交于点B，
再以点B为切点作直线与f（x）图象交于点C，
再以点C为切点作直线与f（x）图象交于点D，
此时满足x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，
∴x_D=-8x₀，
③错误．
④假设函数f（x）图象上存在四点A，B，C，D，
使得以它们为顶点的四边形为正方形．
根据函数f（x）的函数图象的特点可知，
这样的正方形要么不存在，要么是偶数个存在．
∴④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查函数图象的性质，考查导数的几何意义及直线方程的应用，考查学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，属于难题．