Question

12．已知a∈R，集合A={x|ax²-2x+2a-1=0}，f（x）=x+$\frac{a}{x}$，命题p：A=∅，命题q：f（x）在[1，+∞）上递增．
（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真时，a的取值范围；
（1）若p∧q为真，则求两个范围的交集即可；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，分类求出a的范围，综合可得答案．

解答 解：若命题p：A=∅为真，
则$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△=4-4a（2a-1）＜0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
若命题q：f（x）在[1，+∞）上递增．
a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \sqrt{a}≤1\end{array}\right.$
解得：a∈（-∞，1]
（1）若p∧q为真，则a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，
则p，q一真一假，
若p真q假，则a∈（1，+∞），
若p假q真，则a∈（$-\frac{1}{2}$，1]，
综上可得：a∈（$-\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次方程根的个数，对勾函数的图象和性质，难度中档．