Question

4．设a＞b＞0，则a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$=ab+$\frac{1}{ab}$+a²-ab+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$=a²-ab+ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$=ab+$\frac{1}{ab}$+a（a-b）+$\frac{1}{{a（{a-b}）}}$≥2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{a（a-b）•\frac{1}{a（a-b）}}$=4，
当且仅当ab=1，a（a-b）=1即a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，
故选：D．

点评 本题考查了通过变形利用基本不等式的性质的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．