Question

3．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，其图象上任意一点P（x₀，y₀）处的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，则实数a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（a＞0），得到f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$，且以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立
则f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，即a≥x₀-$\frac{1}{2}$x₀²在（0，3]上恒成立，
令g（x）=x₀-$\frac{1}{2}$x₀²（0＜x≤3），可知g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．