Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂＜0，对任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$．

Answer 1

分析 （方法一）：根据题意依次求出a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、…，从数字的变化上找规律，归纳出数列的递推公式，再利用累加法求出通项公式；
（方法二）：由题意去掉绝对值得：a_2n+1-a_2n=±2²ⁿ，a_2n-a_2n-1=±2^2n-1，两式相加化简后，由{a_2n-1}递减、{a_2n}递增化简式子，由a₂＜a₁得数列的递推公式，再利用累加法求出通项公式．

解答 解：（方法一）：
由题意得，a₁=1，a₂＜0，对任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，
且{a_2n-1}是递增数列，{a_2n}是递减数列，
所以依次得，a₂=-1，a₃=3，a₄=-5，a₅=11，a₆=-21，…，
从数字的变化规律得，a_n+1-a_n=（-1）ⁿ2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（-1）^n-1•2^n-1+（-1）^n-2•2^n-2+…+2²-2+1
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$；
（方法二）：∵对任意的n∈N^*，恒有|a_n+1-a_n|=2ⁿ，
∴a_2n+1-a_2n=±2²ⁿ，a_2n-a_2n-1=±2^2n-1，
则两式相加得，a_2n+1-a_2n-1=±2²ⁿ±2^2n-1，
∵{a_2n-1}是递增数列，∴a_2n+1-a_2n-1＞0，
则a_2n+1-a_2n=2²ⁿ，
同理，由{a_2n}是递减数列得，a_2n-a_2n-1=-2^2n-1，
又a₂＜a₁，∴a_n+1-a_n=（-1）ⁿ2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（-1）^n-1•2^n-1+（-1）^n-2•2^n-2+…+2²-2+1
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$，
故答案为：$\frac{1-{（-2）}^{n}}{3}$．

点评 本题考查了含绝对值数列的单调性，等比数列的前n项和公式，累加法求出通项公式，考查了猜想归纳方法，推理能力与化简能力，属于难题．