Question

6．已知函数f（x）=4^x-a•2^x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）-1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=的值代入，将2^x看作一个整体，解出2^x的值，从而求出x的值即可；
（2）问题转化为a＞${（\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}）}_{max}$，令2^x=t∈（1，2），g（t）=$\frac{{t}^{2}+1}{2t-1}$，根据函数的单调性求出g（t）的最大值，从而求出a的范围即可；
（3）问题转化为a=$\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}$有交点，根据（2）求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=4^x-22^x+2，
f（x）-1=（2^x）²-2•（2^x）+1=（2^x-1）²=0，
∴2^x=1，解得：x=0；
（2）4^x-a•（2^x+1-1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2^x-1）＜4^x+1，
∵2^x+1＞1，
∴a＞${（\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}）}_{max}$，
令2^x=t∈（1，2），g（t）=$\frac{{t}^{2}+1}{2t-1}$，
则g′（t）=$\frac{{2t}^{2}-2t-2}{{（2t-1）}^{2}}$=$\frac{2{（t}^{2}-t-1）}{{（2t-1）}^{2}}$=0，
t=t₀，∴g（t）在（1，t₀）递减，在（t₀，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=$\frac{5}{3}$，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=$\frac{{4}^{x}+1}{2{•2}^{x}-1}$有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故a≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．