Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，EF⊥A₁D，EF⊥AC，求证：EF∥BD₁.

Answer 1

参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD₁，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A₁D，AC均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.

证明：连结A₁C₁，由于AC∥A₁C₁，EF⊥AC，

∴EF⊥A₁C₁.

又EF⊥A₁D，A₁D∩A₁C₁＝A₁,

∴EF⊥平面A₁C₁D.                                 ①

∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁平面A₁B₁C₁D₁,

∴BB₁⊥A₁C₁.

又A₁B₁C₁D₁为正方体,

∴A₁C₁⊥B₁D₁.

∵BB₁∩B₁D₁＝B₁,

∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D.

而BD₁平面BB₁D₁D,∴BD₁⊥A₁C₁.

同理，DC₁⊥BD₁，DC₁∩A₁C₁＝C₁,

∴BD₁⊥平面A₁C₁D.                                ②

由①②可知EF∥BD₁.

主要考察知识点:空间直线和平面