Question

【题目】某班有20人参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数.考试结果是：（1）没有0分；（2）没有两个同学的语文、数学成绩都相同.我们说“同学比的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

若同学比的成绩好，记为.

原问题等价于证明：存在三个同学、、，满足.

用表示第个同学的语文、数学成绩，于是，，且等号不同时成立.

因为语文成绩在1到10的整数中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：

情形1：某个分数值，至少有三个人取得，即存在某个，使得（其中、、两两不等）；

情形2：每个分数值，恰好有两个人取得，即对任意的，存在不同的、，使得.

同理，对于数学成绩同样有两种情形：

情形：存在某个，使得（其中、、两两不等）；

情形：对任意的，存在不同的、，使得.

下面进行讨论：

对情形1：若，则由条件（2）知、、两两不等.

不失一般性，不妨设，则，即存在三个同学、、满足.

对情形同理可证.

对情形：有两个，不失一般性，设，于是，得，，且.

不失一般性，不妨设，则.

这时，对于，若出现情形，则结论成立；若出现情形，则必有两人得10分.

不妨设为、，易知、中至少有一个不取1（否则与条件（2）矛盾）.设为，则.

所以，，故结论成立.

对于情形同理可证.

综上所述，结论成立.