Question

已知函数f(x)=

lnx

x

-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）试证明：对?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f(x)=

lnx

x

-x，得f′（x），令f′（x）=0，得此方程的解；从而求得函数f（x）的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
故①当0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增，最大值是f（2m）；
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，最大值是f（m）；
③当m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1时，最大值是f（1）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1，即在（0，+∞）上，恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，当且仅当x=1时“=”成立，即是恒有lnx≤x（x-1）；由于

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，即证．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

lnx

x

-x，∴f′(x)=

1-lnx

x2

-1，令f′（x）=0，得x²=1-lnx，显然x=1是此方程的解；
令g（x）=x²+lnx-1，其中x∈（0，+∞），则g′(x)=2x+

1

x

＞0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，
∴当x=1时，函数有最大值f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
故①当0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-2m；
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-m；
③当m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1时，f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，当且仅当x=1时“=”成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）；
∵

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，
即对?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性求得函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式恒成立的问题，属于较难的题目．