Question

【题目】设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）讨论的极值点的个数；

（Ⅲ）若在y轴右侧的图象都不在x轴下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）答案不唯一，具体见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）当时，求出函数的导函数，再求出在处的切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；

（Ⅱ）求函数的导函数，通过换元法，导函数的解析式是二次项系数不确定的多项式函数，根据二次项系数等于零、大于零、小于零，结合一元二次方程根的判别式，分类讨论求出函数的极值点的个数；

（Ⅲ）由题设可知，．因此有当时，，

根据（Ⅱ）可知函数的单调性进行分类讨论；

①当时，利用函数的单调性可以证明出成立．

②当时，利用根与系数关系，和函数的单调性可以得到．

③当时，利用放缩法、构造新函数，可以证明当时，不恒成立，最后确定a的取值范围.

解：（Ⅰ）当时，，，

所以，．

曲线在处的切线方程为，即．

（Ⅱ）由已知可得，

设，则，记，

（1）时，，函数在R上为增函数，没有极值点．

（2）当时，判别式，

①若时，，，函数在R上为增函数，没有极值点．

②若时，，由，抛物线的对称轴为，

可知的零点均为正数．

不妨设的两个不等正实数根为，且，

则，

所以当，，单调递增，

当，，单调递减，

当，，单调递增，

此时函数有两个极值点．

（3）若时，由，

可知的两个不相等的实数根，且，

当，，单调递增，

当，，单调递减，

此时函数只有一个极值点．

综上：当时无极值点；

当时有一个极值点；

当时有两个极值点．

（Ⅲ）由题设可知，．

时，，

由（Ⅱ）知：

①当时，函数在R上为增函数，

，所以成立；

②当时，，，所以，

当时单调递增，又，

所以，，等价于，即．

所以只需，即．

所以，当时，也满足，；

③当时，

，

考察函数，

显然存在，使得，

即存在，使得，不满足，

综上所述，a的取值范围是