Question

如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，又直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交
于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

Answer 1

解：(1)由题设，从而，
所以椭圆C的方程为＋＝1.………………………3分
(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)．
设，则，.①
AF与BN的方程分别为：
.
设，则有
由上得
由于
＝＝1.
所以点M恒在椭圆C上．………………………………7分
(ⅱ)解：设AM的方程为，代入，
得
设、，则有，.
＝＝.
令，则＝
因为函数在为增函数，
所以当即时，函数有最小值4.
即时,有最大值3，此时AM过点F.……11分
△AMN的面积S_△AMN＝·有最大值.…………12分

略