Question

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到
两个焦点的距离之和为，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与该椭圆交于点、,
以、为邻边作平行四边形，求该平行四边形对角线的长度
的最大值.

Answer 1

20．解：（Ⅰ）设椭圆方程为,由已知得,
,从而椭圆方程为.    ----------------------------  4´
（Ⅱ）由上知.             -- ---------------------------------------------- 5´ 
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，将代入椭圆得.
由对称性，不妨设，则，
从而  ------------------------------------------------------------------------- 7´
②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为.
设，由 消去得，
， -       - ---------------------------------------- 9´
则，  ------------------------ 10´
又由得，
.
从而-  -------------------------------- -------------------------------------- 13´
综上知，平行四边形对角线的长度的最大值是4. -  ---------------------------- 14´

略