Question

（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，………1分
∴a＝1，b＝c＝    ………………………………………3分
故C的方程为：y²＋＝1            ……………………………4分
（2）当直线斜率不存在时：     ……………………………………5分
当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0    …………………6分
Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）………………7分
x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　       …………………………………8分
∵＝3 ∴－x₁＝3x₂∴
消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0……………………9分
整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                      
m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，      …………………10分
∴k²＝0，∴或
高三数学（理工类）参考答案第3页（共4页）
把k²＝代入（*）得或
∴或         ……………………………………11分
综上m的取值范围为或 ……………………………12分

略