Question

8．已知函数f（x）=a•$\frac{lnx-x+2}{x}$
（I）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线过点（0，4），求函数f（x）的最大值
（Ⅱ）当a＜l时，若函数g（x）=xf（x）+x²-2x+2在区间（$\frac{1}{2}$，2）内有且只有一个零点，求实数a的取值范围．（参考数值：ln2≈0.7）

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由两点的斜率公式，可得a=2，求出f（x）的导数和单调区间、极值和最值；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式和导数，求得单调区间，g（x）在（$\frac{1}{2}$，2）只有一个零点，有三种情况：①g（x）的极小值g（1）=a+1=0，②$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≤0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，③$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（I）f（x）的导数为f′（x）=a•$\frac{（\frac{1}{x}-1）•x-（lnx-x+2）}{{x}^{2}}$=a•$\frac{-lnx-1}{{x}^{2}}$，
可得在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=-a，切点为（1，a），
由两点的斜率公式可得-a=$\frac{a-4}{1}$，解得a=2，
即有f（x）=2•$\frac{lnx-x+2}{x}$，f′（x）=-2•$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处f（x）取得最大值f（$\frac{1}{e}$）=2•$\frac{ln\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+2}{\frac{1}{e}}$=2e-2；
（Ⅱ）g（x）=xf（x）+x²-2x+2=a（lnx-x+2）+x²-2x+2，
g′（x）=a（$\frac{1}{x}$-1）+2x-2=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x₁=1，x₂=$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，
在（$\frac{1}{2}$，1）上g′（x）＜0，在（1，2）上g′（x）＞0，
则g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，2）上递增，
则g（x）在（$\frac{1}{2}$，2）只有一个零点，有三种情况：
①g（x）的极小值g（1）=a+1=0，可得a=-1；
②$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）≤0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a（ln\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）+\frac{5}{4}≤0}\\{aln2+2＞0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{5}{4ln2-6}}\\{a＞\frac{-2}{ln2}}\end{array}\right.$，
由ln2≈0.7，可得$\frac{-2}{ln2}$＜$\frac{5}{4ln2-6}$，即有$\frac{-2}{ln2}$＜a≤$\frac{5}{4ln2-6}$；
③$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{4ln2-6}}\\{a≤\frac{-2}{ln2}}\end{array}\right.$，a无解．
综上可得，a的范围是a=-1或$\frac{-2}{ln2}$＜a≤$\frac{5}{4ln2-6}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．