Question

20．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 φ 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即 φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．