Question

11．对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2，1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（3）已知a＜b，是否存在a，b，使函数h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在区间[a，b]上封闭？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=x-1在区间[-2，1]上是增函数求出在[-2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；
（2）把给出的函数g（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$变形为3+$\frac{a-3}{x+1}$，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；
（3）假设h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在区间[a，b]上封闭，作出函数h（x）的图象，讨论a，b的取值范围，结合函数的单调性进行判断即可．

解答 解：（1）f（x）=x-1在区间[-2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[-3，0]
而[-3，0]?[-2，1]，所以f（x）在区间[-2，1]上不是封闭的；
（2）因为g（x）=$\frac{3x+a}{x+1}$=3+$\frac{a-3}{x+1}$，
①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．
②当a＞3时，函数g（x）=3+$\frac{a-3}{x+1}$在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为$[\frac{30+a}{11}，\frac{9+a}{4}]$，
由$[\frac{30+a}{11}，\frac{9+a}{4}]$⊆[3，10]，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{30+a}{11}≥3}\\{\frac{9+a}{4}≤10}\end{array}\right.$，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③当a＜3时，在区间[3，10]上有$g（x）=\frac{3x+a}{x+1}=3+\frac{a-3}{x+1}＜3$，显然不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；
（3）作出函数h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|的图象如图，则h（x）≥0，
当b＜0时，定义域为[a，b]，则不满足条件，
函数h（x）的定义域为{x|x≠0}，
则必有a＞0，
当a＞1时，函数h（x）在[a，b]上为增函数，
此时h（b）=|1-$\frac{1}{b}$|=1-$\frac{1}{b}$＜1，此时函数的值域[f（a），f（b）]?[a，b]，此时不满足条件．
若0＜a＜1，b＞1，此时函数在[a，b]上的最小值为h（1）=0，而a＞0，此时不满足条件．
若0＜a＜b＜1，此时函数h（x）在[a，b]上为减函数，
则函数的值域为[f（b），f（a）]，即函数的值域为[$\frac{1}{b}$-1，$\frac{1}{a}$-1]，
若[$\frac{1}{b}$-1，$\frac{1}{a}$-1]⊆[a，b]，则满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b}-1≥a}\\{\frac{1}{a}-1≤b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b}≥a+1}\\{\frac{1}{a}≤b+1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{b}≤-a-1}\\{\frac{1}{a}≤b+1}\end{array}\right.$，则$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$≤b-a，
即$\frac{b-a}{ab}$≤b-a，则$\frac{1}{ab}$≤1，则ab≥1，与0＜a＜b＜1，ab＜1矛盾，
综上不存在a，b，使函数h（x）=|1-$\frac{1}{x}$|在区间[a，b]上封闭．

点评 本题是新定义题，考查函数与方程的应用，考查了分类讨论得数学思想方法，解答此题的关键是正确分类，因该题需要较细致的分类，综合性较强，难度较大．