Question

10．若函数f（x）=log_a（x+$\frac{a}{x}$-1）（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 本题是一个对数函数类型，由于函数f（x）的值域是R，所以真数y=x+$\frac{a}{x}$-1的取值范围应该包含正实数集，利用基本不等式，确定y=x+$\frac{a}{x}$-1值域为2$\sqrt{a}$-1，可得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）的值域是R，
∴设真数y=x+$\frac{a}{x}$-1值域为M，则必定有（0，+∞）⊆M，
∵y=x+$\frac{a}{x}$-1值域为2$\sqrt{a}$-1，
∴2$\sqrt{a}$-1≤0，
∴a≤$\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
∴0＜a≤$\frac{1}{4}$．
故答案为：0＜a≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题的考点是基本不等式在最值问题中的应用，考查对数型函数的值域为全体实数的等价条件的理解，属于中档题．本题是一个易错题，应依据定义理清转化的依据．