Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，若a₃=4，则m的所有取值之积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 对m分类讨论，利用递推关系得出m的所有取值，即可得出结论．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，a₃=4，
①若m＞2，则a₂=m-1＞1，∴a₃=m-2=4，解得m=6．
②若m=2，则a₂=m-1=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=1≠4，舍去．
③若1＜m＜2，则a₂=m-1∈（0，1），∴a₃=$\frac{1}{m-1}$=4，解得m=$\frac{5}{4}$．
④若m=1，则a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$≠4，舍去．
⑤若0＜m＜1，则a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{m}$＞1，∴a₃=a₂-1=$\frac{1}{m}$-1=4，解得m=$\frac{1}{5}$．
综上可得：m∈{6，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{5}$}，
∴m的所有取值之积为6×$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．