Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若满足a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}$=$\frac{a}{b}$，且S_△ABC=$\sqrt{3}$，求边长c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理即可求出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换，结合正弦、余弦定理，即可求出结果．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc，
∴b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵$\frac{1-cos2A}{1-cos2B}$=$\frac{a}{b}$，
∴$\frac{{2sin}^{2}A}{{2sin}^{2}B}$=$\frac{a}{b}$，
即$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{a}{b}$，
∴$\frac{a}{b}$=1，即a=b；
∴B=A=$\frac{π}{6}$，C=π-（A+B）=$\frac{2π}{3}$；
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴a=2；
∴c²=a²+b²-2abcosC=2²+2²-2×2×2cos$\frac{2π}{3}$=12，
解得边长c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了推理与计算能力，是综合性题目．