Question

15．计算：${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy，其中f′（x）连续，L为从点A（2，2π）沿圆周（x-1）²+（y-π）²=1+π²按逆时针方向到O（0，0）．

Answer 1

分析 由于被积函数含有未知的函数，如果直接用第二类曲线积分的计算方法将会变得很复杂，而如果将积分曲线添加一条线段，使其成封闭曲线，再用格林公式就会变得简单

解答 解：补充线段AB，$\left\{\begin{array}{l}{x=x}\\{y=πx}\end{array}\right.$，x从2到0，则：${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy=${∫}_{\;}^{\;}$_Lf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy+${∫}_{\;}^{\;}$_ABf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy
：${∫}_{\;}^{\;}$_BAf′（x）sinydx+[f（x）cosy-πx]dy=I₁+I₂
其中I₁，利用格林公式，设L+BA所围成的区域为D，得
I₁=$\underset{∬}{D}$（-π）dxdy=$-\frac{π}{2}$•π•（1+π2）
而I₂利用第二曲线积分计算方法，得
I₂=${∫}_{0}^{2}$f′（x）sinπx+（f（x）cosπx-πx）•π]dx=${∫}_{0}^{2}$π2xdx=2π2
∴原式=$\frac{3{π}^{2}}{2}$-$\frac{{π}^{4}}{2}$．

点评 本题考查了格林公式及其应用，属于中档题．