Question

4．在一个边长为1000m的正方形野生麋鹿保护区的正中央，有一个半径为30m的圆形水塘，里面饲养者鳄鱼，以提高麋鹿的抗天敌能力．
（1）刚投放进去的麋鹿都是在水塘以外的任意区域自由活动，若岸上距离水塘边1m以内的范围都是鳄鱼的攻击区域，请判断麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性是否会超过1‰，并说明理由；
（2）现有甲、乙两种类型的麋鹿，按野生麋鹿活动的规律，它们活动的适宜范围平均每只分别不小于8000m²和4500m²（水塘的面积忽略不计），它们每只每年对食物的需求量分别是4个单位和5个单位，岸上植物每年提供的食物总量是720个单位，若甲、乙两种麋鹿每只的科研价值比为3：2，要使得两种麋鹿的科研总价值最大，保护区应投放两种 麋鹿个多少只．

Answer 1

分析 （1）麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过1‰．运用几何概型的概率公式，求得正方形以外的面积，以及岸上距离水塘边1m以内的范围的面积，由面积的比值，即可判断；
（2）设保护区应投放两种麋鹿各x，y只．甲、乙两种麋鹿每只的科研价值为3t，2t．两种麋鹿的科研总价值为z，则z=3xt+2yt，且x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{8000x+4500y≤100{0}^{2}}\\{4x+5y≤720}\\{x，y＞0，x，y∈N}\end{array}\right.$，画出可行域，平移即可得到最大值．

解答 解：（1）麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过1‰．
理由：设正方形ABCD的边长为1000m，
圆O的半径为30m，
则正方形的面积为1000²m²，
圆的面积为πr²=900πm²，
则水塘以外的任意区域的面积为1000²-900πm²，
岸上距离水塘边1m以内的范围的面积为π（31²-30²）=61πm²，
由几何概型的公式可得，麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性为
$\frac{61π}{100{0}^{2}-900π}$≈0.00019＜0.001．
则麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过1‰；
（2）设保护区应投放两种麋鹿各x，y只．
甲、乙两种麋鹿每只的科研价值为3t，2t．
两种麋鹿的科研总价值为z，
则z=3xt+2yt，
且x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{8000x+4500y≤100{0}^{2}}\\{4x+5y≤720}\\{x，y＞0，x，y∈N}\end{array}\right.$，
画出不等式组表示的平面区域，
令z=0即有y=-$\frac{3}{2}$x，
作出直线l₀：y=-$\frac{3}{2}$x，
平移l₀，可得通过点P（80，80），
可得z取得最大值，且为400t，
则要使得两种麋鹿的科研总价值最大，
保护区应投放两种麋鹿各80只．

点评 本题考查几何概型的运用和不等式组表示的区域求最值的方法，考查数形结合和运算能力，属于中档题．