Question

14．6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
（2）甲、乙站在两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端；
（4）甲、乙不能站左、右端．

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，首先分析甲乙的站法情况，由于甲、乙站在两端，则甲乙的站法有2种情况，再将剩余的4个人进行全排列，安排在其余4个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论：①、当甲在右端时，剩余的5个人进行全排列，②、当甲不在右端时，分析甲、乙以及剩余4人的站法数目，由分步计数原理计算可得此时的站法数目，由分类计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，首先分析甲乙的站法情况，易得甲乙必须在中间4个位置，再将剩余的4个人进行全排列，安排在其余4个位置，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，甲不站右端，也不站左端，则甲有4个位置可选，即有4种情况，
剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，有A₅⁵=120种情况，
则甲不站右端，也不站左端的不同站法有4×120=480种；
（2）根据题意，甲、乙站在两端，则甲乙的站法有2种情况，
剩余的4个人进行全排列，安排在其余4个位置，有A₄⁴=24种情况，
则甲、乙站在两端的情况有2×24=48种；
（3）根据题意，分2种情况讨论：
①、当甲在右端时，剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，有A₅⁵=120种情况，
②、当甲不在右端时，甲有4个位置可选，则乙也有4个位置可选，
剩余的4个人进行全排列，安排在其余4个位置，有A₄⁴=24种情况，
甲不在右端的站法有4×4×24=384种，
则甲不站左端，乙不站右端的情况有120+384=504种；
（4）根据题意，甲乙不能在左、右端，则甲乙必须在中间4个位置，有A₄²=12种情况，
剩余的4个人进行全排列，安排在其余4个位置，有A₄⁴=24种情况，
则甲、乙不能站左、右端的站法有12×24=288种．

点评 本题主要考查排列、组合的运用，注意受限制的元素或位置要优先排，其次要掌握特殊问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题插空法等．