Question

3．已知$\left\{\begin{array}{l}{mn≥1}\\{|m+n|≤2}\end{array}\right.$，求y=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{mn≥1}\\{|m+n|≤2}\end{array}\right.$，可得mn=1．通过分类讨论利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{mn≥1}\\{|m+n|≤2}\end{array}\right.$，∴2≥|m+n|≥$2\sqrt{mn}$≥2，
∴mn=1．
当n，m＞0时，y=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$=2，当且仅当m=1时取等号．
同理可得：当n，m＜0时，y≤-2．
∴y=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．