Question

18．已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα、tanβ，且α、β∈（-$\frac{π}{2}$，0），求tan$\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 根据题意和韦达定理可得：tanα+tanβ=-4a，tanα•tanβ=3a+1，利用两角和的正切函数求出tan（α+β）的值，由α、β的范围求出$\frac{α+β}{2}$的范围，判断出$tan\frac{α+β}{2}$的符号，利用二倍角的正切公式求出$tan\frac{α+β}{2}$的值即可．

解答 解：∵方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα、tanβ，
∴tanα+tanβ=-4a，tanα•tanβ=3a+1，满足△＞0，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-4a}{1-3a-1}$=$\frac{4}{3}$，
∵α、β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴α+β∈（-π，0），
则$\frac{α+β}{2}∈（-\frac{π}{2}，0）$，即$tan\frac{α+β}{2}$＜0，
由tan（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{4}{3}$得，$2ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}+3tan\frac{α+β}{2}$-2=0，
解得$tan\frac{α+β}{2}$=$\frac{1}{2}$（舍去）或$tan\frac{α+β}{2}=-2$，
所以tan$\frac{α+β}{2}$的值是-2．

点评 本题考查两角和的正切函数，二倍角的正切公式，以及韦达定理的应用，注意角的范围和正切函数的符号，属于中档题．