Question

19．若函数f（x）满足f（x²）+2x²+10x=2xf（x+1）+3，则f（1）=5；并写出一个满足条件的函数解析式f（x）=2x+3．

Answer 1

分析 根据条件可知x=0时得到f（0）=3，然后令x=-1，便可求出f（1）；根据f（x）满足的等式可设f（x）为一次函数，从而设f（x）=kx+b，这样便可表示出f（x²），f（x+1），然后带入到f（x）满足的等式并可以整理成（k+2）x²+10x+b=2kx²+2（k+b）x+3，多项式相等，便有其对应项的系数相等，这样即可求出k，b，从而得出一个满足条件的函数解析式f（x）．

解答 解：x=0时，f（0）=3；x=-1时，f（1）-8=-2f（0）+3=-3；
∴f（1）=5；
设f（x）=kx+b，则f（x²）=kx²+b，f（x+1）=kx+k+b，代入原式得：
kx²+b+2x²+10x=2x（kx+k+b）+3；
整理得：（k+2）x²+10x+b=2kx²+2（k+b）x+3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+2=2k}\\{10=2（k+b）}\\{b=3}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴f（x）=2x+3．
故答案为：5，2x+3．

点评 考查已知函数f（x）满足的等式求函数f（a）的方法，待定系数求函数解析式的方法，以及多项式相等时对应系数的关系．