Question

已知椭圆C：

x2

2

+y²=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x²+y²=

2

3

相切于点W（O为坐标原点）．
（Ⅰ）证明：OE⊥OF；
（Ⅱ）设λ=

|EW|

|FW|

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：方程思想,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OE⊥OF；
（Ⅱ）根据直线l与圆O相切于点W，以及OE⊥OF，得出λ=

|EW|

|FW|

的坐标表示，求出λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l与圆O相切，
∴圆x²+y²=

2

3

的圆心到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

2 3

，
∴m2=

2

3

(1+k2)；
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0；
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

；
∴

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2) 2m2-2 1+2k2 + -4k2m2 1+2k2 +m2 = 3m2-2k2-2 1+2k2 = 2(1+k2)-2k2-2 1+2k2 =0

∴OE⊥OF；

（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
∴λ=

|EW|

|FW|

=

|OE|2-r2

|OF|2-r2

=

x 2 1 + y 2 1 - 2 3

x 2 2 + y 2 2 - 2 3

=

x 2 1 2 + 1 3

x 2 2 2 + 1 3

；
由（Ⅰ）知x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂=-y₁y₂，即

x

2 1

x

2 2

=

y

2 1

y

2 2

；
从而

x

2 1

x

2 2

=(1-

x 2 1

2

)(1-

x 2 2

2

)，
即

x

2 2

=

4-2 x 2 1

2+3 x 2 1

，
∴λ=

x 2 1 2 + 1 3

x 2 2 2 + 1 3

=

2+3 x 2 1

4

；
∵-

2

≤x₁≤

2

，
∴λ∈[

1

2

，2]．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了直线与圆相切的应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．