Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且2S_n=an2+a_n，n∈N．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an2

，求证：对一切正整数n，有b₁+b₂+…+b_n＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），作差得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此说明数列为等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b_n=

1

an2

，放大后裂项，利用裂项相消法求和后可得结论．

解答： （1）解：由2S_n=a_n²+a_n，①
得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
又2S1=2a1=a12+a1，得a₁=1，
∴a_n=n（n∈N^*）；
（2）证明：b_n=

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
当n=1时，b1=1＜

7

4

，
当n=2时，b1+b2=1+

1

4

=

5

4

＜

7

4

，
当n≥3时，b₁+b₂+…+b_n＜1+

1

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
∴对一切正整数n，有b₁+b₂+…+b_n＜

7

4

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．