Question

已知x，y∈R，满足x²+2xy+4y²=6，则z=x²+4y²的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：x²+2xy+4y²=6变形为(x+y)2+(

3

y)2=6，设x+y=

6

cosθ，

3

y=

6

sinθ，θ∈[0，2π）．代入z=x²+4y²，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．

解答： 解：x²+2xy+4y²=6变形为(x+y)2+(

3

y)2=6，
设x+y=

6

cosθ，

3

y=

6

sinθ，θ∈[0，2π）．
∴y=

2

sinθ，x=

6

cosθ-

2

sinθ，
∴z=x²+4y²=(

6

cosθ-

2

sinθ)2+4(

2

sinθ)2
=4sin2θ-4

3

sinθcosθ+6
=2×（1-cos2θ）-2

3

sin2θ+6
=8-4sin(2θ+

π

6

)，
∵sin(2θ+

π

6

)∈[-1，1]．
∴z∈[4，12]．
故答案为：[4，12]．

点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．