Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q-BP-C的余弦值。

Answer 1

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz （1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0） 则 所以 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC 故PQ⊥平面DCQ 又PQ平面PQC， 所以平面PQC⊥平面DCQ。 （2）依题意有B（1，0，1）， 设是平面PBC的法向量，则 即 因此可取 设m是平面PBQ的法向量，则 可取 所以 故二面角Q-BP-C的余弦值为-。