Question

对于数列：，若不改变，仅改变中部分项的符号，得到的新数列称为数列的一个生成数列．如仅改变数列的第二、三项的符号可以得到一个生成数列．

已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．

⑴写出的所有可能值；

⑵若生成数列满足： ，求的通项公式；

⑶证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为：

．

Answer 1

（1）由已知，，，

∴                        

由于

∴可能值为．                                

（2）∵，

当时，，              

当时，

∵是的生成数列

∴；；；

∴

在以上各种组合中，

当且仅当时，才成立。

∴                          

（3）证法一：用数学归纳法证明：

①时， ，命题成立。             

②假设时命题成立，即所有可能值集合为：

由假设，=        

则当，

即或

即   ∴时，命题成立      

由①②，，所有可能值集合为。

证法二：

共有种情形。

即                       

又，分子必是奇数，满足条件的奇数共有个。                             

设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和，数列的前项和，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项。

由于，不妨设，则

所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有。

∴共有种情形，其值各不相同。

∴可能值必恰为，共个。

即所有可能值集合为