Question

已知△ABC中，

AB

=(-

3

sinx，sinx)，

AC

=(sinx，cosx)
（1）设f(x)=

AB

•

AC

，若f（A）=0，求角A的值；
（2）若对任意的实数t，恒有|

AB

-t

AC

|≥|

BC

|，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积公式求得f（x）=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，再由 f（A）=0求得sin(2A+

π

3

)=

3

2

，故有A=

π

6

．
（2）由 |

AB

-t

AC

|≥|

BC

| 可得BC⊥AC，再由|

AB

|=

4sin2x

≤2，|

AC

|=1，求得BC≤

3

，由此根据△ABC面积S = 

1

2

 BC •AC求得它的最大值．

解答：解：（1）∵f(x)=

AB

•

AC

=-

3

sin2x+sinxcosx=-

3

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

 
∵f（A）=0=sin(2A+

π

3

)=

3

2

，且2A+

π

3

∈(

π

3

，2π+

π

3

)，∴A=

π

6

．（7分）
（2）∵|

AB

-t

AC

|≥|

BC

|，故点B到直线AC的最短距离为BC，∴BC⊥AC．
∵|

AB

|=

4sin2x

≤2，|

AC

|=1，∴由勾股定理可得 BC=

AB2-AC2

≤

4-1

=

3

，
故△ABC面积S = 

1

2

 BC •AC ≤

3

2

，
故△ABC面积的最大值为

3

2

．（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于中档题．