Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是（x+

1

4x2

）⁴的展开式中的第二项．
（Ⅰ）求实数m的值，并用含x的式子表示公比q；
（Ⅱ）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（Ⅲ）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，有a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，由二项式系数的性质，可得

2m+3≥3m m-2≥1

，解可得

m≥3 m≤3

；即m=3，写出(x+

1

4x2

)4的展开式中的通项的第二项，即可得公比；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可得a₁与公比，可得等比数列的通项为a_n=x^n-1，分x=1与x≠1两种情况讨论，分别求出S_n，综合可得答案；
（Ⅲ）分x=1与x≠1两种情况讨论，当x=1时，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，倒序相加可得2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ），由二项式定理可得2A_n=n•2ⁿ，化简可得A_n=n•2^n-1，当x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，代入可得A_n的表达式，综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹
∴

2m+3≥3m m-2≥1

，解可得

m≥3 m≤3

；
∴m=3，
由(x+

1

4x2

)4的展开式中的通项公式知q=T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹=C₆⁶•A₁¹=1，其公比为x，
则a_n=x^n-1，
当x=1时，a_n=1，S_n=1+1+…+1=n，
当x≠1时，S_n=

1(1-xn)

1-x

=

1-xn

1-x

，
则Sn=

n(x=1) 1-xn 1-x (x≠1)

；
（Ⅲ）当x=1时，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ①
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，②
①+②可得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
当x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，

An= 1-x 1-x C 1 n + 1-x2 1-x C 2 n +…+ 1-xn 1-x C n n = 1 1-x [( C 0 n + C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-( C 0 n +x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )] = 1 1-x [2n-(1+x)n]

则An=

n•2n-1(x=1) 2n-(1+x)n 1-x (x≠1)

．

点评：本题考查等比数列的求和、二项式定理的应用；注意对等比数列求和时，讨论公比是否为1．