【题目】已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn , 且满足a1=1,an+1=2 +1,n∈N* .
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在正整数k,使ak , S2k﹣1 , a4k成等比数列?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:因为a1=1,an+1=2 +1,
所以a2=2 +1=2+1=3
(2)解:由an+1=2 +1得,
,
所以当n≥2时, ,
两个式子相减得,4an=(an+1+an﹣2)(an+1﹣an),
化简得,(an+1﹣an﹣2)(an+1+an)=0,
因为数列{an}的各项均为正数,
所以an+1﹣an﹣2=0,即an+1﹣an=2,
所以数列{an}是以1为首项、2为公差的等差数列,
则an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1
(3)解:假设存在正整数k使ak,S2k﹣1,a4k成等比数列,
则 ,
所以 =(2k﹣1)(8k﹣1),
(2k﹣1)3=8k﹣1,化简得4k2﹣6k﹣1=0,
解得 ,
,
因为k是正整数,所以不存在正整数k满足条件
【解析】(1)将n=1代入式子即可求解;(2)由an+1=2 +1得
,令n取n﹣1代入上式可得
,两个式子相减后进行化简,利用等差数列的定义判断,再由等差数列的通项公式求出an;(3)先假设存在正整数k满足条件,利用等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程,化简后求出k的值,再由k是正整数进行判断.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识,掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知直线与
、
轴交于
、
两点.
(Ⅰ)若点、
分别是双曲线
的虚轴、实轴的一个端点,试在平面上找两点
、
,使得双曲线
上任意一点到
、
这两点距离差的绝对值是定值.
(Ⅱ)若以原点为圆心的圆
截直线
所得弦长是
,求圆
的方程以及这条弦的中点.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足Sn=2an﹣2.若数列{bn}满足bn=10﹣log2an , 则是数列{bn}的前n项和取最大值时n的值为( )
A.8
B.10
C.8或9
D.9或10
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【题目】如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥DA,CE= ,∠ADC=
;E为AD边上一点,DE=1,EA=2,∠BEC=
(1)求sin∠CED的值;
(2)求BE的长.
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【题目】某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月份中5天的日销售量(单位:千克)与该地当日最低气温
(单位:
)的数据,如下表:
x | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
(1)求出与
的回归方程
;
(2)判断与
之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为
,请用所求回归方程预测该店当日的销售量;
(3)设该地1月份的日最低气温~
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,求
.
附:①回归方程中,
,
.
②,
,若
~
,则
,
.
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【题目】已知圆和定点
,由圆
外一点
向圆
引切线
,切点为
,且满足
.
(1)求实数,
满足的等量关系;
(2)求线段长的最小值;
(3)若以为圆心所作的圆
与圆
有公共点,试求半径取最小值时圆
的方程.
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