Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn ， 且满足a1=1，an+1=2 +1，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正整数k，使ak ， S2k﹣1 ， a4k成等比数列？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为a1=1，an+1=2 +1，

所以a2=2 +1=2+1=3

（2）解：由an+1=2 +1得， ，

所以当n≥2时， ，

两个式子相减得，4an=（an+1+an﹣2）（an+1﹣an），

化简得，（an+1﹣an﹣2）（an+1+an）=0，

因为数列{an}的各项均为正数，

所以an+1﹣an﹣2=0，即an+1﹣an=2，

所以数列{an}是以1为首项、2为公差的等差数列，

则an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

（3）解：假设存在正整数k使ak，S2k﹣1，a4k成等比数列，

则 ，

所以 =（2k﹣1）（8k﹣1），

（2k﹣1）3=8k﹣1，化简得4k2﹣6k﹣1=0，

解得 ， ，

因为k是正整数，所以不存在正整数k满足条件

【解析】（1）将n=1代入式子即可求解；（2）由an+1=2 +1得 ，令n取n﹣1代入上式可得 ，两个式子相减后进行化简，利用等差数列的定义判断，再由等差数列的通项公式求出an；（3）先假设存在正整数k满足条件，利用等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程，化简后求出k的值，再由k是正整数进行判断．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．