Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2cosx），记f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量数量积的坐标表示化简求得函数f（x）的解析式；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=2cos²x+2sinxcosx-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x$+\frac{π}{4}∈$[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]．
∴$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]．
即函数y=f（x）的值域为[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，训练了三角函数值域的求法，是基础题．